【基礎知識】共分散とは？2つのデータが一緒に変化する傾向を表す指標

共分散とは、2つの変数が、それぞれの平均値を基準として、どのように一緒に変化するかを数値で表したものです。

例えば、次のようなデータの関係を調べるときに利用できます。

- 勉強時間とテストの点数
- 気温とアイスクリームの売上
- 身長と体重
- 株式Aと株式Bの価格変動
- 広告費と商品の売上高

勉強時間が長い人ほどテストの点数も高くなる傾向があれば、2つの変数には正の共分散が生じやすくなります。一方、気温が高くなるほど暖房の使用量が減るような関係では、負の共分散が生じます。

共分散の正負が示す3つの意味

共分散の値を読み取るときは、まず符号に注目します。

1. 共分散が正の場合

一方の変数が平均より大きいとき、もう一方も平均より大きくなる傾向があります。反対に、一方が平均より小さければ、もう一方も小さくなる傾向があります。

散布図にすると、全体として右上がりの関係です。

2. 共分散が負の場合

一方の変数が平均より大きいとき、もう一方は平均より小さくなる傾向があります。

散布図では、全体として右下がりになります。

3. 共分散が0に近い場合

平均を基準にした偏差積の正負が打ち消し合い、共分散が0に近づいている状態です。

ただし、共分散が0だからといって、必ずしも2つの変数に関係がないわけではありません。例えば、左右対称の二次曲線のような非線形関係では、共分散や相関係数が0に近くなることがあります。

総務省統計局の「データサイエンス・オンライン講座」中級編でも、共分散の符号と散布図の関係が説明されています。

共分散の数値が大きければ関係も強いのか？

ここには注意点があります。

共分散の絶対値が大きいほど、偏差積の平均が大きいことは分かります。しかし、それだけで相関関係が強いとは判断できません。

理由は、共分散の数値がデータの単位や尺度に左右されるためです。

例えば、身長をセンチメートルからメートルに変更するだけでも、共分散の数値は変わります。データそのものの関係が変化したわけではありません。

そのため、関係の強さを異なるデータ間で比較したい場合には、共分散を標準化した相関係数を利用します。

【公式と計算例】平均との差の積から共分散を求める手順

共分散を手計算する場合、基本となるのは平均との差の積、つまり偏差積です。

共分散の基本公式

2つの変数をXとY、それぞれのデータ数をn、平均値を \(\bar{x}\)、\(\bar{y}\) とすると、データ全体についての共分散は次の式で求められます。

\[
\boxed{
S_{xy}=\frac{1}{n}
\sum_{i=1}^{n}
(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})
}
\]

それぞれの記号の意味は次のとおりです。

- \(n\)：データの組数
- \(x_i\)：Xのi番目のデータ
- \(y_i\)：Yのi番目のデータ
- \(\bar{x}\)：Xの平均値
- \(\bar{y}\)：Yの平均値
- \((x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\)：各データの偏差積
- \(\sum\)：すべてのデータの偏差積を合計する記号

この公式の要点は、XとYのそれぞれについて平均値との差を計算し、その2つを掛け合わせることです。

共分散の計算例：4組のデータで実際に求める

次のデータを使って計算してみましょう。

この4組のデータについて、母集団全体として扱う場合の共分散を計算します。

ステップ1：XとYの平均値を求める

Xの平均値は、

\[
\bar{x}=\frac{1+2+3+4}{4}=2.5
\]

Yの平均値も、

\[
\bar{y}=\frac{1+3+2+4}{4}=2.5
\]

となります。

ステップ2：それぞれの偏差を求める

各データから平均値を引きます。

Xの偏差は、

\[
-1.5,\ -0.5,\ 0.5,\ 1.5
\]

Yの偏差は、

\[
-1.5,\ 0.5,\ -0.5,\ 1.5
\]

です。

ステップ3：偏差積を計算する

同じ番号のXとYの偏差を掛け合わせます。

\[
(-1.5)\times(-1.5)=2.25
\]

\[
(-0.5)\times0.5=-0.25
\]

\[
0.5\times(-0.5)=-0.25
\]

\[
1.5\times1.5=2.25
\]

これらの合計は、

\[
2.25-0.25-0.25+2.25=4
\]

です。

ステップ4：データ数で割る

今回のデータは4組なので、合計を4で割ります。

\[
S_{xy}=\frac{4}{4}=1
\]

計算結果：共分散は1

このように、4組のデータから求めた共分散は1です。

偏差積を使う理由は？

偏差積は、2つの変数が平均値に対して同じ方向に動いているか、反対方向に動いているかを表します。

- 両方の偏差がプラス：積はプラス
- 両方の偏差がマイナス：積はプラス
- 一方がプラスでもう一方がマイナス：積はマイナス

したがって、偏差積をすべて足し合わせることで、2つの変数が同じ方向に変動する傾向と、反対方向に変動する傾向をまとめて評価できます。

共分散を簡単に求める別の公式

毎回すべての偏差を計算するのが面倒な場合は、次の変形式も利用できます。

\[
S_{xy}
=
\frac{\sum x_i y_i}{n}
-\bar{x}\bar{y}
\]

これは、偏差積を展開して整理したものです。

先ほどの例では、

\[
\sum x_i y_i
=1+6+6+16=29
\]

となるため、

\[
S_{xy}
=\frac{29}{4}-2.5\times2.5
\]

\[
=7.25-6.25=1
\]

同じ結果が得られます。

データ数が多い場合には、この変形式を使うと計算を整理しやすくなります。

【徹底比較】標本共分散と母共分散の違い！分母がnとn−1になる理由

共分散の計算で特に間違えやすいのが、分母の選択です。

同じデータを使っても、分母をnにするか、n−1にするかによって計算結果は異なります。

これは単なる計算上の違いではなく、データをどのような目的で扱うかによるものです。

母共分散はデータ全体の関係を調べる

母共分散とは、母集団に含まれるすべてのデータを対象にして求める共分散です。

母集団のデータ数をN、母平均を \(\mu_x\)、\(\mu_y\) とすると、公式は次のようになります。

\[
\sigma_{xy}
=
\frac{1}{N}
\sum_{i=1}^{N}
(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)
\]

母集団全体の平均値が分かっており、すべてのデータを使っているため、分母はNです。

不偏共分散は標本から母共分散を推定する

一方、不偏共分散は、母集団の一部を取り出した標本データから、母集団の共分散を推定するための指標です。

標本数をn、標本平均を \(\bar{x}\)、\(\bar{y}\) とすると、公式は次のとおりです。

\[
\boxed{
s_{xy}
=
\frac{1}{n-1}
\sum_{i=1}^{n}
(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})
}
\]

母平均が分からないため、標本平均を使って計算します。

標本平均を同じ標本から求めると、偏差の合計は必ず0になります。その制約を考慮した補正として、分母をn−1にすることで、母共分散の不偏推定量になります。

ここでいう不偏とは、標本を何度も抽出して推定値の平均を考えたとき、その期待値が母共分散に一致するという意味です。1回の計算結果が必ず母共分散と一致するという意味ではありません。

nとn−1の違いを一覧で比較

なお、「標本共分散」という言葉は、教材や分野によってnで割る記述統計上の共分散を指す場合と、n−1で割る標準的な標本共分散を指す場合があります。

したがって、問題を解く際には名称だけで判断せず、公式の分母を確認することが大切です。

同じデータでnとn−1の違いを確認する

先ほどの4組のデータでは、偏差積の合計が4でした。

母集団全体として扱う場合は、

\[
\frac{4}{4}=1
\]

標本から母共分散を推定する場合は、

\[
\frac{4}{4-1}=\frac{4}{3}
\]

となります。

つまり、同じデータでも計算結果は次のように変わります。

- 母共分散：1
- 不偏共分散：1.3333…

この違いを理解しておけば、Excelで計算するときにも混乱しにくくなります。

【重要な違い】共分散と相関係数の関係、平均と分散のつながり

共分散と一緒に学習することが多いのが、相関係数です。

両者は似た目的で利用されますが、数値の意味には明確な違いがあります。

共分散と相関係数の違い

共分散は、2つの変数が同じ方向に変化する傾向を表します。一方、相関係数は、その関係を標準化して、強さも比較しやすくした指標です。

相関係数の公式は次のとおりです。

\[
r=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}
{\sigma_x\sigma_y}
\]

ここで、\(\sigma_x\) と \(\sigma_y\) は、それぞれの変数の標準偏差です。

相関係数には次の特徴があります。

- 1に近い：強い正の直線的関係
- −1に近い：強い負の直線的関係
- 0に近い：直線的な関係が弱い

相関係数は必ず−1から1の範囲に収まります。

先ほどの計算例では、XとYの母分散はどちらも1.25です。そのため、標準偏差はどちらも \(\sqrt{1.25}\) となります。

共分散は1なので、

\[
r=\frac{1}{\sqrt{1.25}\times\sqrt{1.25}}
\]

\[
=\frac{1}{1.25}=0.8
\]

となります。

つまり、今回のデータの相関係数は0.8です。

共分散が1という数値だけでは強さを判断できませんが、相関係数を使えば、標準化された尺度で関係を評価できます。

総務省統計局の教材でも、相関係数は共分散を各変数の標準偏差の積で割った値として説明されています。

共分散が0でも相関がないとは限らない

ここは統計学で特に注意したいポイントです。

共分散が0に近い場合、直線的な共変動が見られない可能性があります。しかし、曲線状の関係まで否定できるわけではありません。

例えば、Xが0に近いときYが小さく、Xの絶対値が大きくなるほどYが大きくなるようなU字型の関係では、左右の偏差積が打ち消し合うことがあります。

その結果、共分散が0に近くても、散布図には明確なパターンが現れる可能性があります。

相関係数を計算したら、必ず散布図も確認する。この組み合わせが、誤った解釈を防ぐ基本です。

平均と分散の関係：分散は共分散の特別なケース

平均と分散の関係を理解すると、共分散の仕組みもさらに分かりやすくなります。

分散は、1つの変数が平均値からどの程度ばらついているかを表す指標です。

母分散の公式は、

\[
\operatorname{Var}(X)
=
\frac{1}{N}
\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu_x)^2
\]

です。

一方、共分散の公式は、

\[
\operatorname{Cov}(X,Y)
=
\frac{1}{N}
\sum_{i=1}^{N}
(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)
\]

でした。

ここでYをXと同じ変数にすると、

\[
\operatorname{Cov}(X,X)
=
\frac{1}{N}
\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu_x)^2
\]

となります。

つまり、

\[
\boxed{\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)}
\]

です。

分散とは、同じ変数同士の共分散を求めたものと理解できます。

この関係は、統計学における共分散行列を理解するうえでも重要です。

【Excel実践】COVARIANCE.PとCOVARIANCE.Sで共分散を計算する方法

手計算では偏差積を1つずつ求めますが、Excelを使えば関数によって計算を自動化できます。

2026年11月時点のMicrosoft公式サポートでは、母共分散を求める関数と標本共分散を求める関数がそれぞれ案内されています。

COVARIANCE.Pで母共分散を求める

COVARIANCE.Pは、入力した2組のデータを母集団全体として扱い、分母nで計算する関数です。

基本構文は次のとおりです。

=COVARIANCE.P(配列1, 配列2)

例えば、A2からA5にXのデータ、B2からB5にYのデータが入力されている場合は、

=COVARIANCE.P(A2:A5,B2:B5)

と入力します。

先ほどの計算例と同じデータなら、結果は1です。

COVARIANCE.Sで標本共分散を求める

COVARIANCE.Sは、標本データから母共分散を推定する際に使う関数です。

基本構文は、

=COVARIANCE.S(配列1, 配列2)

です。

今回のデータでは、

=COVARIANCE.S(A2:A5,B2:B5)

と入力すると、

1.333333333…

という結果になります。

これは偏差積の合計4を、データ数から1を引いた3で割っているためです。

Excelで間違えやすい4つのポイント

1. COVARIANCE.PとCOVARIANCE.Sを取り違えない

すべてのデータを対象にするのか、標本から母集団を推定するのかによって関数を使い分けます。

2. XとYのデータ数を一致させる

2つの範囲のデータ数が異なると、Excelはエラーを返します。

3. データの並び順をそろえる

同じ行にあるXとYを1組のデータとして扱います。

例えば、A2のXとB2のY、A3のXとB3のYが対応するように入力してください。並び順がずれると、本来とは違う組み合わせで共分散が計算されます。

4. 空白セルとゼロを区別する

Microsoft公式の説明によると、これらの関数はセル範囲内の文字列、論理値、空白セルを無視しますが、数値の0は計算対象に含めます。

本来ゼロであるデータを空白にしてしまうと、計算結果が変わる可能性があります。

Excelではどちらを使うべき？

判断基準は、分析の目的です。

- 手元のデータ全体の特徴を記述したい：COVARIANCE.P
- 標本から母集団の共分散を推定したい：COVARIANCE.S

Microsoftの関数リファレンスでは、両者は別々の統計関数として整理されています。

なお、古いExcelのCOVAR関数もありますが、Microsoftは新しい関数名であるCOVARIANCE.Pの利用を案内しています。

【応用編・プロの結論】共分散行列の仕組みと実務で失敗しない判断基準

共分散は2つの変数だけでなく、複数の変数の関係をまとめて分析するときにも使われます。

その代表例が共分散行列です。

共分散行列とは？

共分散行列とは、複数の変数について、それぞれの分散と変数間の共分散を行列形式で整理したものです。

例えば、XとYの2つの変数がある場合、共分散行列は次のように表せます。

\[
\Sigma=
\begin{pmatrix}
\operatorname{Var}(X)&\operatorname{Cov}(X,Y)\\
\operatorname{Cov}(Y,X)&\operatorname{Var}(Y)
\end{pmatrix}
\]

特徴は3つあります。

- 左上と右下の対角成分は、それぞれの変数の分散
- 右上と左下の非対角成分は、2変数間の共分散
- 共分散はXとYを入れ替えても同じなので、行列は対称になる

先ほどの計算例を標本の不偏共分散・不偏分散で整理すると、

\[
S=
\begin{pmatrix}
5/3&4/3\\
4/3&5/3
\end{pmatrix}
\]

となります。

このように、変数が増えた場合も、各変数の組み合わせについて共分散を計算して行列に整理できます。

共分散行列はどのような場面で使われる？

金融・投資分析

複数の株式や資産の価格変動を分析し、資産同士が同じ方向に動くのか、反対方向に動くのかを調べます。

ポートフォリオのリスクを計算するときにも、共分散行列が利用されます。

機械学習・データ分析

複数の特徴量のばらつきや相互関係を把握するために使われます。

主成分分析（PCA）では、共分散行列を固有値・固有ベクトルと組み合わせ、データの変動を効率よく表現する方法を検討します。

多変量統計学

複数の変数がどのように変化するかをまとめて扱い、回帰分析や多変量解析などに利用します。

神戸大学の多変量解析教材でも、共分散行列の対角成分が分散、非対角成分が変数間の共分散になることが説明されています。

【プロの結論】共分散を正しく求めるための判断基準

共分散の計算で失敗しないためには、次の3つを押さえてください。

第一に、計算対象が母集団なのか標本なのかを確認すること。

母集団全体なら分母はN、標本から母共分散を推定するならn−1を使います。ここを間違えると、Excelでも手計算でも答えが一致しません。

第二に、共分散の符号と大きさを分けて考えること。

正負は変数が同じ方向に動く傾向なのか、反対方向に動く傾向なのかを示します。一方、数値の大きさは単位や尺度に依存するため、単独で関係の強さを判断するのは適切ではありません。

第三に、相関係数と散布図を併用すること。

共分散だけでは直線的な関係の強さを標準化して比較できません。また、相関係数だけでも非線形関係や外れ値の影響を見落とす可能性があります。

数値、相関係数、散布図を組み合わせて判断することが、統計分析の精度を高める基本です。

【よくある質問】共分散の求め方に関するFAQ

Q1：共分散を求めるときの公式は何ですか？

A1：基本公式は、各データの平均との差を掛け合わせ、その合計をデータ数で割る式です。母集団全体ならN、標本から母共分散を推定する不偏共分散ならn−1で割ります。

Q2：共分散の分母はnとn−1のどちらを使いますか？

A2：母集団全体のデータを分析するならn（母集団のデータ数N）、標本から母共分散を推定するならn−1を使います。Excelでは前者がCOVARIANCE.P、後者がCOVARIANCE.Sです。

Q3：共分散がマイナスになるのはなぜですか？

A3：一方の変数が平均より大きいとき、もう一方が平均より小さくなる傾向があるためです。偏差積がマイナスになる組み合わせが多いと、共分散も負になります。

Q4：共分散が0なら2つの変数に関係はありませんか？

A4：必ずしもそうではありません。共分散が0に近いことは直線的な共変動が小さいことを示しますが、曲線状の関係など、非線形の関連が存在する可能性はあります。

Q5：共分散と相関係数は何が違いますか？

A5：共分散は2つの変数の偏差積の平均であり、データの単位に影響されます。相関係数は共分散を標準偏差の積で割って標準化したもので、−1から1の範囲で関係の方向と直線的な強さを表します。

Q6：Excelではどの関数を使えばよいですか？

A6：母集団全体の共分散にはCOVARIANCE.P、標本から母共分散を推定する場合にはCOVARIANCE.Sを使います。2つの関数は分母が異なるため、分析目的に合わせて選択してください。

共分散は、2つの変数が平均値を基準として、どのように一緒に変化するのかを表す統計指標です。

計算の基本は、平均との差を掛け合わせた偏差積の合計を求めることです。

最後に、要点を整理します。

- 共分散は2つの変数の偏差積の平均である。
- 正の共分散は同じ方向、負の共分散は反対方向に変化する傾向を示す。
- 母共分散はN、標本から求める不偏共分散はn−1で割る。
- COVARIANCE.Pは母共分散、COVARIANCE.Sは標本からの不偏推定に使う。
- 共分散の大きさは単位に依存するため、関係の強さを比較するときは相関係数を使う。
- 複数の変数を分析するときには共分散行列が役立つ。

最も大切なのは、公式を暗記するだけでなく、何を対象に計算しているのかを理解することです。

母集団全体の特徴を把握するのか、標本から母集団の性質を推定するのか。この違いを理解すれば、手計算でもExcelでも、分母の選択に迷わず共分散を正しく求められます。

参考資料：総務省統計局「データサイエンス・オンライン講座 中級編」、Microsoft公式サポート「COVARIANCE.P 関数」「COVARIANCE.S 関数」「統計関数リファレンス」、金沢工業大学「不偏共分散」、神戸大学「多変量解析」教材。

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